第二百零三章：解决等谱非等距同构猜想
办公室中，费弗曼盯着黑板上的算式看了良久，才开口道：
“这同样是一种可以解决等谱问题的办法，而且你构思的道路完善程度要远超于我。”
“我仅仅是构思了一个想法，但你已经在这个想法上进行了拓展，甚至做了一部分计算。”
停顿了一下，费弗接着道：“不过我并不打算放弃我自己的思路，或许我们可以搞个大的出来。”
徐川好奇的问道：“什么大的？”
“分开研究！”
费弗曼温和的笑了笑，接着道：“我们分别从各自的道路上出发，利用自己的方法针对等谱问题进行突破，如果我们能在三个月内都完成这个问题的解决，那么到时候就一起发出去。”
“这也算是对我们的一种压力，三个月的时间解决一个难题，想想就让人感觉刺激。”
和徐川一样，他也看好对方提供的思路，认为这同样可以解决等谱问题。
但他并不准备放弃自己的思路，在他看来，两人的思路都是建立在自己独有的数学知识上的。
既然这样，那不如干脆分开研究。
给定一个时间期限，彼此做一个良性的竞争，看看到底是谁的思路和谁的能力更加出色一点好了。
徐川眼眸动了动，理解了费弗曼的想法，笑道：“不得不说，这的确是个很有意思的提议，也很让人心动。”
顿了顿，他接着道：“当然，也很让人有压力。”
三个月的时间解决等谱问题，即便是他们脑海中都有了解决这个问题的思路，也不是那么容易做到的。
如果答应，意味着两人都要在这三个月内爆肝了，压力十足。
“那么，你的想法呢？”费弗曼咧嘴问道。
“我接受这份挑战。”徐川果断的回应。
面对挑战，怎么能退缩，更何况他还有年龄优势。
今年他才二十岁，而费弗曼已经六十六了，在爆肝这一块，相信他比费弗曼会更加持久。
“哈哈哈哈，好，那让我们开始吧！”费弗曼开心的笑着回应。
尽管在普林斯顿中，他是出了名的温和谦逊，待人和善几乎没有脾气，但这里终究是普林斯顿，每个人心中都有着自己的傲气。
哪怕他的年龄不如徐川，在爆肝方面不如对方，但他也不是没有优势的。
年龄大，意味着他多了四十多年的经验与知识。
从这方面来看，他占据了绝对的优势。
只是，他不知道的是，站在他面前的，到底是一个怎样的怪物。
.......
普林斯顿高等研究院。
一栋别墅中，一个身影匍匐在书房中奋笔疾书。
杂乱的头发，丛生的胡茬，发黑的眼圈，充满血丝的眼睛，无不显示这个身影已经熬了多长时间。
但和熬夜不同的是，桌前的身影眼神异常明亮，精神亢奋，手中的圆珠笔也不断的在稿纸上划动着。
“.......”
“(d1){??u =λu， x∈Ω1，u|?Ω1 = 0；”
“(d2){??v =μv， x∈Ω2，v|?Ω2 = 0；”
“......则特征值问题(d1)和(d2)分别有离散谱{λi}i∈n和{μi}i∈n.若对每一个 i∈ n，均有λi =μi......
“...依据定理[1][6][11]，可在平面r2上构建出一对具光滑边界(至少为 c1光滑的边界)的有界连通区域，它们是等谱的，但却非等距同构。”
“由此，可证等谱非等距同构猜想在三维有界区域中成立！”
.......
最后一点落下，徐川手中的圆珠笔放下，盯着书桌上的稿纸长舒了一口气，脸上也扬起了笑容。
眼神落在了旁边的日历，不知不觉间，时间已经到了六月初。
而距离费弗曼当初和他在办公室中发起挑战，时间已经过去了近两个月。
在过去的近两个月中，他借助此前对weyl-berry猜想的研究，利用xu-weyl-berry定理中的谱渐近定理，构造出了一个两两不相交的有界开域的集合。
但在利用拉普拉斯算子进行转化构建一对具光滑边界的有界连通区域的时候，他遇到了一些麻烦。
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度grad的散度div。
它适应于椭圆型偏微分方程，也可以用来描述物理中的平衡稳定状态，如定常状态的电磁场、引力场和反应扩散现象等。
这是解决等谱问题的关键，但它在特征值的计算方面无法构建出的稳定的闭willmore超曲面，也无法计算出常平均曲率。
这一度让他苦恼不已。
幸运的是，通过针对等谱问题与偏微分方程相关文献方面的搜索浏览，他找到了一个适合的补救办法。
保hamilton系统辛结构的辛几何算法、保李群微分方程的李群方法。
这两种于上个世纪日不落国数学家提出的算法，能长时间精确模拟微分方程的变化，且能近似保持微分方程动量和能量守恒特性。
而这两个特性刚好可以应用到他的数学计算中，能恰到好处的填补上最后一块漏洞，让他完成最后的构建。
......
盯着稿纸上的答桉，徐川脸上扬起了笑容。
他这边已经完成了自己的工作，不知道的费弗曼那边的进度怎么样了。
三个月的时间，哪怕是加上此前两人的共同合作时间，也只有四个多月。
四个月的时间，要解决一个世界级难题，即便是对于一名菲尔兹奖得主而言，难度也不小。
他能解决，依赖的是前世对分析学和拓扑学的研究，再加上这辈子解决的第一个数学难题就是等谱方向的，才有这么快的速度。
而费弗曼那边，就不清楚了。
不过想必他提出这份挑战，肯定是有些把握的。
毕竟费弗曼本身就是偏微分方程领域的顶级大牛，在光滑流形方面的研究也有独特之处。
另一方面，在经历了两个月的研究后，当他再看费弗曼此前的构思时，能敏锐的察觉到从狄利克雷函数和非线性偏微分方程出发解决等谱问题，比他提出的从拉普拉斯算子出发要容易不少。
这不仅仅是科研直觉，更是来源于他这段时间对等谱问题的研究。
毕竟在解决了等谱非等距同构猜想后，他对于这个问题的了解比此前更深。
而对于能解决这个问题的其他方法，也有了一些朦胧的推测。
这也让徐川有些感叹，即便是他已经解决了一个七大千禧年难题，对于数学领域的了解，依旧比不上这些沉浸数学研究几十年的顶级大牛。
他和这些专职于数学研究顶级数学家，还是有一定的差距的。
不过这个差距，正在随着他年龄的增长，对于数学知识的吸收而逐渐缩小。
......
从别墅中出来，徐川并没有去打扰费弗曼，只是去他的办公室中看了一眼，见办公室里面没人后就回到了自己的办公室。
当看到他出现办公室门口的时候，正在里面学习的四名学生脸上不约而同的露出了惊讶的表情。
“教授，您回来了？”
“您已经解决了那个等谱问题吗？”
几名学生惊诧的问道。
徐川点了点头，道：“如果不出意外的话，应该是的。费弗曼教授这些天来过吗？”
闻言，四名学生均情不自禁的咽了口唾沫。
他们的这位的导师，是不是太变态了？
事实上，这些天在除了学习外，他们四人也一起尝试过对徐川和费弗曼教授研究的问题进行过一段时间的研究。
想看看集他们四人之力能不能解开这个难题。
或者说，想看看他们距离两位教授还有多远的距离。
这个提议是沙希·佩雷斯发起的，很快就赢得了其他三人的同意。
毕竟能来到普林斯顿，可以说四人都是学霸，心里自然有傲气。
三个臭皮匠还顶个诸葛亮呢，如果他们能解决这个问题，说不定导师和费弗曼教授能对他们刮目相看呢？
然后现实是残酷的。
即便是等谱问题是ns方程中的一小个分支问题，即便是费弗曼教授和他们导师的两条不同的解决思路都摆在他们面前，他们也无能为力。
别说解决这个等谱问题了，就是沿着两位教授的思路向前推进一步，集他们四人之力都做不到。
这次的尝试，让他们看清了人与人之间是有差距，不，有鸿沟的。
.....
从震惊中回过神来，罗杰·迪恩恭敬的回道：“费弗曼教授前些天来过一次，但您不在。”
听到这个大弟子的话，徐川有些讶异，惊诧的问道：“费弗曼教授已经解决了等谱问题吗？”
罗杰·迪恩摇了摇头，道：“不清楚，费弗曼教授没说过这事，不过他前些天过来的时候，向我转述过，如果您回来了，请给他打个电话。”
徐川点了点头，道：“我知道了。”
从口袋中摸出手机，徐川走出办公室给费弗曼拨了过去。
电话响了一会才被接通，费弗曼的声音迅速传递了过来：“哦，徐，你终于舍得离开你的别墅了吗？”
徐川笑了笑，问道：“你的研究进度怎么样了？”
费弗曼：“有个地方卡住了，正在想办法解决，你呢？”
话落，徐川还未回答，费弗曼就想起了什么，紧接着迟疑的问道：“你该不会是已经解决了吧？”
他想起了之前和德利涅交流的时候，德利涅表示徐川在解决问题的时候，习惯性将自己一个人锁在房间中。
而每当他走出来的时候，就证明他所研究的问题已经有了结果。
该不是，他已经解决了等谱非等距同构猜想吧？
徐川点了点头，道：“嗯，用我的方法，已经构建出来了。”
话落，对面就传来了‘噗冬’的声音，像是手机掉到了木桌上一样，不过很久就抓起来了，火急火燎的声音从里面传来。
“你现在在办公室吧，我马上过去。”
......
费弗曼过来的速度比徐川想的还要快。
而且过来的不仅仅是他一个人，跟着一起过来的还有德利涅教授。
事实上，刚刚费弗曼就在德利涅的办公室中，两人正在交流如何解决遇到的问题。
“你已经解决了等谱非等距同构猜想了吗？证明过程呢？带过来了吗？”费弗曼急迫的问道。
“还在我的别墅中，是一起过去，还是我去拿过来。”徐川回道。
“当然是一起过去。”费弗曼毫不犹豫的说道。
.......
安静的别墅中，徐川将整理出来的证明过程递给了费弗曼，后者立刻接过去看了起来。
一旁，德利涅感兴趣的问道：“还有复印件吗？”
徐川摇了摇头，道：“复印件没有，不过原始的稿纸我还保留着。”
说着，他从一旁的书柜中翻出了原始手稿，递给了德利涅。
虽然原始手稿的整洁性比不上整理后的证明过程，但从里面看一下证明者的思路还是没有问题的。
幽静的别墅中，时间一点一点的过去。
费弗曼教授最先放下了手中的证明过程，看向了对面的徐川，眼神有些复杂。
来之前，他还在想着是否能从证明过程中找到一些缺陷，以此来安慰自己。
但现在看来，是他输了。
输给了眼前这个比自己小了足足四十六岁的少年。
他没有从论文中找到任何的漏洞，尤其是利用拉普拉斯算子转换构建稳定的闭willmore超曲面一步，更是让他情不自禁的在心中拍桉叫绝。
太精妙了。
仿佛数学天生就该如此一样。
不过他也没在这上面纠结，毕竟眼前的这个少年，抛开年龄外，在数学能力上完全不弱于他，甚至可以说更胜一筹。
他可没有解决过七大千禧年难题，也没有在二十岁时，就成为普林斯顿高等研究院的终身研究员。
“很优秀的证明过程，至少我没有找到漏洞。”费弗曼将手中的稿纸放下，看向徐川接着道：“你的数学天赋真的夸张到这个地步吗？一个半月的时间就解决了这个问题。”
徐川咧嘴笑了笑，指了指自己的黑眼圈，道：“一个半月？或许吧。”
“我这段时间以来，每天睡觉的时间不超过六个小时，就算是加上吃饭和跑步等其他时间，也不会超过十个小时，而剩下的十四个小时，我都在研究这个问题。”
闻言，费弗曼张了张嘴，欲言又止。
.......
“这同样是一种可以解决等谱问题的办法，而且你构思的道路完善程度要远超于我。”
“我仅仅是构思了一个想法，但你已经在这个想法上进行了拓展，甚至做了一部分计算。”
停顿了一下，费弗接着道：“不过我并不打算放弃我自己的思路，或许我们可以搞个大的出来。”
徐川好奇的问道：“什么大的？”
“分开研究！”
费弗曼温和的笑了笑，接着道：“我们分别从各自的道路上出发，利用自己的方法针对等谱问题进行突破，如果我们能在三个月内都完成这个问题的解决，那么到时候就一起发出去。”
“这也算是对我们的一种压力，三个月的时间解决一个难题，想想就让人感觉刺激。”
和徐川一样，他也看好对方提供的思路，认为这同样可以解决等谱问题。
但他并不准备放弃自己的思路，在他看来，两人的思路都是建立在自己独有的数学知识上的。
既然这样，那不如干脆分开研究。
给定一个时间期限，彼此做一个良性的竞争，看看到底是谁的思路和谁的能力更加出色一点好了。
徐川眼眸动了动，理解了费弗曼的想法，笑道：“不得不说，这的确是个很有意思的提议，也很让人心动。”
顿了顿，他接着道：“当然，也很让人有压力。”
三个月的时间解决等谱问题，即便是他们脑海中都有了解决这个问题的思路，也不是那么容易做到的。
如果答应，意味着两人都要在这三个月内爆肝了，压力十足。
“那么，你的想法呢？”费弗曼咧嘴问道。
“我接受这份挑战。”徐川果断的回应。
面对挑战，怎么能退缩，更何况他还有年龄优势。
今年他才二十岁，而费弗曼已经六十六了，在爆肝这一块，相信他比费弗曼会更加持久。
“哈哈哈哈，好，那让我们开始吧！”费弗曼开心的笑着回应。
尽管在普林斯顿中，他是出了名的温和谦逊，待人和善几乎没有脾气，但这里终究是普林斯顿，每个人心中都有着自己的傲气。
哪怕他的年龄不如徐川，在爆肝方面不如对方，但他也不是没有优势的。
年龄大，意味着他多了四十多年的经验与知识。
从这方面来看，他占据了绝对的优势。
只是，他不知道的是，站在他面前的，到底是一个怎样的怪物。
.......
普林斯顿高等研究院。
一栋别墅中，一个身影匍匐在书房中奋笔疾书。
杂乱的头发，丛生的胡茬，发黑的眼圈，充满血丝的眼睛，无不显示这个身影已经熬了多长时间。
但和熬夜不同的是，桌前的身影眼神异常明亮，精神亢奋，手中的圆珠笔也不断的在稿纸上划动着。
“.......”
“(d1){??u =λu， x∈Ω1，u|?Ω1 = 0；”
“(d2){??v =μv， x∈Ω2，v|?Ω2 = 0；”
“......则特征值问题(d1)和(d2)分别有离散谱{λi}i∈n和{μi}i∈n.若对每一个 i∈ n，均有λi =μi......
“...依据定理[1][6][11]，可在平面r2上构建出一对具光滑边界(至少为 c1光滑的边界)的有界连通区域，它们是等谱的，但却非等距同构。”
“由此，可证等谱非等距同构猜想在三维有界区域中成立！”
.......
最后一点落下，徐川手中的圆珠笔放下，盯着书桌上的稿纸长舒了一口气，脸上也扬起了笑容。
眼神落在了旁边的日历，不知不觉间，时间已经到了六月初。
而距离费弗曼当初和他在办公室中发起挑战，时间已经过去了近两个月。
在过去的近两个月中，他借助此前对weyl-berry猜想的研究，利用xu-weyl-berry定理中的谱渐近定理，构造出了一个两两不相交的有界开域的集合。
但在利用拉普拉斯算子进行转化构建一对具光滑边界的有界连通区域的时候，他遇到了一些麻烦。
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度grad的散度div。
它适应于椭圆型偏微分方程，也可以用来描述物理中的平衡稳定状态，如定常状态的电磁场、引力场和反应扩散现象等。
这是解决等谱问题的关键，但它在特征值的计算方面无法构建出的稳定的闭willmore超曲面，也无法计算出常平均曲率。
这一度让他苦恼不已。
幸运的是，通过针对等谱问题与偏微分方程相关文献方面的搜索浏览，他找到了一个适合的补救办法。
保hamilton系统辛结构的辛几何算法、保李群微分方程的李群方法。
这两种于上个世纪日不落国数学家提出的算法，能长时间精确模拟微分方程的变化，且能近似保持微分方程动量和能量守恒特性。
而这两个特性刚好可以应用到他的数学计算中，能恰到好处的填补上最后一块漏洞，让他完成最后的构建。
......
盯着稿纸上的答桉，徐川脸上扬起了笑容。
他这边已经完成了自己的工作，不知道的费弗曼那边的进度怎么样了。
三个月的时间，哪怕是加上此前两人的共同合作时间，也只有四个多月。
四个月的时间，要解决一个世界级难题，即便是对于一名菲尔兹奖得主而言，难度也不小。
他能解决，依赖的是前世对分析学和拓扑学的研究，再加上这辈子解决的第一个数学难题就是等谱方向的，才有这么快的速度。
而费弗曼那边，就不清楚了。
不过想必他提出这份挑战，肯定是有些把握的。
毕竟费弗曼本身就是偏微分方程领域的顶级大牛，在光滑流形方面的研究也有独特之处。
另一方面，在经历了两个月的研究后，当他再看费弗曼此前的构思时，能敏锐的察觉到从狄利克雷函数和非线性偏微分方程出发解决等谱问题，比他提出的从拉普拉斯算子出发要容易不少。
这不仅仅是科研直觉，更是来源于他这段时间对等谱问题的研究。
毕竟在解决了等谱非等距同构猜想后，他对于这个问题的了解比此前更深。
而对于能解决这个问题的其他方法，也有了一些朦胧的推测。
这也让徐川有些感叹，即便是他已经解决了一个七大千禧年难题，对于数学领域的了解，依旧比不上这些沉浸数学研究几十年的顶级大牛。
他和这些专职于数学研究顶级数学家，还是有一定的差距的。
不过这个差距，正在随着他年龄的增长，对于数学知识的吸收而逐渐缩小。
......
从别墅中出来，徐川并没有去打扰费弗曼，只是去他的办公室中看了一眼，见办公室里面没人后就回到了自己的办公室。
当看到他出现办公室门口的时候，正在里面学习的四名学生脸上不约而同的露出了惊讶的表情。
“教授，您回来了？”
“您已经解决了那个等谱问题吗？”
几名学生惊诧的问道。
徐川点了点头，道：“如果不出意外的话，应该是的。费弗曼教授这些天来过吗？”
闻言，四名学生均情不自禁的咽了口唾沫。
他们的这位的导师，是不是太变态了？
事实上，这些天在除了学习外，他们四人也一起尝试过对徐川和费弗曼教授研究的问题进行过一段时间的研究。
想看看集他们四人之力能不能解开这个难题。
或者说，想看看他们距离两位教授还有多远的距离。
这个提议是沙希·佩雷斯发起的，很快就赢得了其他三人的同意。
毕竟能来到普林斯顿，可以说四人都是学霸，心里自然有傲气。
三个臭皮匠还顶个诸葛亮呢，如果他们能解决这个问题，说不定导师和费弗曼教授能对他们刮目相看呢？
然后现实是残酷的。
即便是等谱问题是ns方程中的一小个分支问题，即便是费弗曼教授和他们导师的两条不同的解决思路都摆在他们面前，他们也无能为力。
别说解决这个等谱问题了，就是沿着两位教授的思路向前推进一步，集他们四人之力都做不到。
这次的尝试，让他们看清了人与人之间是有差距，不，有鸿沟的。
.....
从震惊中回过神来，罗杰·迪恩恭敬的回道：“费弗曼教授前些天来过一次，但您不在。”
听到这个大弟子的话，徐川有些讶异，惊诧的问道：“费弗曼教授已经解决了等谱问题吗？”
罗杰·迪恩摇了摇头，道：“不清楚，费弗曼教授没说过这事，不过他前些天过来的时候，向我转述过，如果您回来了，请给他打个电话。”
徐川点了点头，道：“我知道了。”
从口袋中摸出手机，徐川走出办公室给费弗曼拨了过去。
电话响了一会才被接通，费弗曼的声音迅速传递了过来：“哦，徐，你终于舍得离开你的别墅了吗？”
徐川笑了笑，问道：“你的研究进度怎么样了？”
费弗曼：“有个地方卡住了，正在想办法解决，你呢？”
话落，徐川还未回答，费弗曼就想起了什么，紧接着迟疑的问道：“你该不会是已经解决了吧？”
他想起了之前和德利涅交流的时候，德利涅表示徐川在解决问题的时候，习惯性将自己一个人锁在房间中。
而每当他走出来的时候，就证明他所研究的问题已经有了结果。
该不是，他已经解决了等谱非等距同构猜想吧？
徐川点了点头，道：“嗯，用我的方法，已经构建出来了。”
话落，对面就传来了‘噗冬’的声音，像是手机掉到了木桌上一样，不过很久就抓起来了，火急火燎的声音从里面传来。
“你现在在办公室吧，我马上过去。”
......
费弗曼过来的速度比徐川想的还要快。
而且过来的不仅仅是他一个人，跟着一起过来的还有德利涅教授。
事实上，刚刚费弗曼就在德利涅的办公室中，两人正在交流如何解决遇到的问题。
“你已经解决了等谱非等距同构猜想了吗？证明过程呢？带过来了吗？”费弗曼急迫的问道。
“还在我的别墅中，是一起过去，还是我去拿过来。”徐川回道。
“当然是一起过去。”费弗曼毫不犹豫的说道。
.......
安静的别墅中，徐川将整理出来的证明过程递给了费弗曼，后者立刻接过去看了起来。
一旁，德利涅感兴趣的问道：“还有复印件吗？”
徐川摇了摇头，道：“复印件没有，不过原始的稿纸我还保留着。”
说着，他从一旁的书柜中翻出了原始手稿，递给了德利涅。
虽然原始手稿的整洁性比不上整理后的证明过程，但从里面看一下证明者的思路还是没有问题的。
幽静的别墅中，时间一点一点的过去。
费弗曼教授最先放下了手中的证明过程，看向了对面的徐川，眼神有些复杂。
来之前，他还在想着是否能从证明过程中找到一些缺陷，以此来安慰自己。
但现在看来，是他输了。
输给了眼前这个比自己小了足足四十六岁的少年。
他没有从论文中找到任何的漏洞，尤其是利用拉普拉斯算子转换构建稳定的闭willmore超曲面一步，更是让他情不自禁的在心中拍桉叫绝。
太精妙了。
仿佛数学天生就该如此一样。
不过他也没在这上面纠结，毕竟眼前的这个少年，抛开年龄外，在数学能力上完全不弱于他，甚至可以说更胜一筹。
他可没有解决过七大千禧年难题，也没有在二十岁时，就成为普林斯顿高等研究院的终身研究员。
“很优秀的证明过程，至少我没有找到漏洞。”费弗曼将手中的稿纸放下，看向徐川接着道：“你的数学天赋真的夸张到这个地步吗？一个半月的时间就解决了这个问题。”
徐川咧嘴笑了笑，指了指自己的黑眼圈，道：“一个半月？或许吧。”
“我这段时间以来，每天睡觉的时间不超过六个小时，就算是加上吃饭和跑步等其他时间，也不会超过十个小时，而剩下的十四个小时，我都在研究这个问题。”
闻言，费弗曼张了张嘴，欲言又止。
.......